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行測知識點：三集合容斥原理題型剖析

2021-05-26 10:51:50 公務員考試網文章來源：山西分院

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　　三集合容斥原理是公務員行測考試數量關系中常考的一個知識點，透徹地理解該知識點涉及的公式、計算方法是很必要的，同時掌握相應的技巧也可以幫助考生在有效的時間內高效準確地解題，為此山西華圖就以上知識點的具體內容及解題技巧展開一個細致的講解，我們先從基礎知識開始。

　　在三集合容斥原理中，容斥原理的本質其實就是集合，而集合是指將同一屬性的所有元素放在一起，當三個集合有交叉和融合時就是本節內容所提到的三集容合斥原理的問題，這個考點涉及的公式一般有三種，雖然公式很長，但是只要理解公式的含義，考試的時候更多的是機械代公式就可以了，這也是多省考試中一個比較穩定和主流的考法。常用的3個公式如下：

　　1.一般公式：滿足一項+滿足兩項+滿足三項=總數-三項都不

　　2.標準公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=總數-三項都不

　　3.拓展公式：A+B+C-滿足兩項-滿足三項×2=總數-三項都不

　　對于這三個公式，在考試時是可以直接套用的，但是若題中所給條件不明晰，不方便直接代公式時，建議大家可以優先考慮用畫圖法理清題目思路，再代公式計算。

　　如上圖，用一般公式：綠色部分加藍色部分加紫色部分為滿足一項，黃色標②的部分為滿足兩項，紅色標③的部分為滿足三項，按照一般公式的計算方法，有：(綠+藍+紫)+②+③=總體-三者都不滿足，若題目中給到相應數據，可直接代入求解。

　　用標準公式：A代表上面的圓圈，B表示左邊的圓圈，C代表右邊的圓圈;A∩B表示黃色的第一個區域和③合起來的部分，A∩C表示黃色的第二個區域和③合起來的部分，B∩C表示黃色的第三個區域和③合起來的部分;A∩B∩C表示③，我們發現A∩B、A∩C、B∩C中均有A∩B∩C表示的③這個部分，計算A+B+C的時候③被加了3次，同樣在減A∩B、A∩C、B∩C的時候③也被減去了3次，所以在計算最后得再加一次③，這樣才能把所有部分都加進去，故代入公式有：A+B+C-(黃1+③)-(黃2+③)-(黃3+③)+③=總體-三項都不，同樣，當題目中有對應部分數字時可直接代入計算。

　　用拓展公式：A+B+C-滿足兩項-滿足三項×2=A+B+C-黃1-黃2-黃3-2×③=總數-三項都不，因為A+B+C時把③加了3次，在減去黃1、黃2、黃3部分時并未減③，所以計算最后再減去兩個③即可，其實拓展公式是標準公式的進一步計算，為了方便考生在考場上能根據題目已知條件直接運用所以把公式列出來。

　　以下通過幾個例子來進一步鞏固該知識點：

　　【例1】某單位舉行籃球、長跑和跳繩比賽，規定每人最多只能報兩個比賽，結果一共有40人報名，籃球、長跑和跳繩的報名人數分別為23人、15人、25人，且同時報籃球、長跑的有7人，同時報籃球、跳繩的有8人，那么同時報長跑和跳繩的人數為：

　　A.6 B.7

　　C.8 D.9

　　【答案】C

　　【解析】因為題目規定每個人最多只能報兩個比賽，所以此題沒有三種都報的人，我們設報籃球的為A，報長跑的為B，報跳繩的為C，那么A∩B∩C為0，A∩B=7，A∩C=8，所求為B∩C，根據標準公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=總體-三項都不，總體為40，代入數據有：23+15+25-7-8-B∩C=40-0，得到B∩C=8，故選擇C。

　　【例2】某校組織各科目模考比賽，且不限制報考科目數量，結果統計參加�？嫉娜藬禐�46人，其中參加語文模考的有26人，參加數學�？嫉娜擞�25人，參加英語�？嫉挠�23人，且已知只參加了兩門�？嫉娜藬禐�24人，問三門�？级紖⒓拥挠袔兹�?

　　A.6 B.2

　　C.3 D.4

　　【答案】B

　　【解析】參加語文的用A表示，參加數學的用B表示，參加英語的用C表示，只參加兩門模考即為拓展公式中“滿足兩項”的，所求為“滿足三項”的，因為題目中統計的就是參加�？嫉娜�，所以46人中每個人都是至少參加一項，“都不”=0，根據拓展公式：A+B+C-滿足兩項-滿足三項×2=總數-三項都不，代入數據即：26+25+23-24-滿足三項×2=46-0，得滿足三項=2，故選擇B。

　　【例3】某公司獎勵員工去公費度假，暫定A、B、C三個景區，每位員工均可三個景區全部報名，員工可根據自己實際情況自行決定。報名結束后統計，共有76人報名，其中報名A、B、C景區的分別有34、23、30人，三個景區都報名了的有3人，求僅報了一個景區的有幾人?

　　A.70 B.68

　　C.69 D.66

　　【答案】B

　　【解析】題目中統計的是報名人數，故此題中“都不”的人數為0，現知A+B+C=34+23+30=87，“滿足三項”=3，根據拓展公式：A+B+C-滿足兩項-滿足三項×2=總數-三項都不，代入數據，87-滿足兩項-3×2=76，得“滿足兩項”=5，再根據一般公式滿足一項+滿足兩項+滿足三項=總數-三項都不，有：滿足一項+5+3=76，滿足一項=68，故選B。

　　上述三個例題就是根據三集合容斥原理三個公式設定的，相信各位考生通過以上內容的學習可以對“三集合容斥原理”的考察內容、形式以及公式的運用有一個清晰的認知，最后希望大家可以通過練習大量習題來對本節所學內容進行鞏固，熟練掌握。