2022年省考行測數量單類解題之《容斥最值問題》

所謂容斥最值，即容斥問題中涉及最大、最小、至多、至少等形式的設問方式，這一類題目也是最值問題的一種，我們通常稱之為容斥最值。

那么遇到這類容斥最值的問題時，我們有沒有快速的解題方法呢，今天老師帶大家一起總結一下此類問題通常的解題方法，希望能對各位小伙伴有所幫助。

一、容斥中求最大值

在兩集合的容斥題目中，很少會出現單純讓求最大值的情況，往往會作為其中一個條件求解，我們先來看一看容斥中求最大值的情況。

引例1.某班級一共有50名學生，一次測驗中，數學及格的學生是38人，語文及格的學生是40人，那么該班語文和數學都及格的學生最多有多少人?

這道題目不難理解，要想讓兩門課成績都及格的人數最多，那么盡可能讓這兩個集合重合，得到的結果應該是較小的那個集合的人數，也就是兩門課都及格的人數最多是38人。用集合圖示來表示：

二、容斥中求最小值

容斥問題中求最小值是我們考試中經常遇到的情形，需要大家重點掌握。我們先來看一道簡單的例子。

引例2.某班級一共有50名學生，一次測驗中，數學及格的學生是38人，語文及格的學生是40人，那么該班語文和數學都及格的學生最少有多少人?

我們可以通俗的想，要讓兩門課都及格的人數最少，就需要讓兩個集合交集最小，也就是讓兩個集合盡量分離開。為了能更加形象地表示兩個集合分離的情形，我們用矩形來表示集合大小。

通過圖示可以看出當兩個集合盡可能分離的時候會出現交集的最小值。我們假設交集最小值為X，那么總數=語文+數學-X，得到X=語文+數學-總數。我們就得到了兩集合容斥最小值公式為兩個子集和相加減去一倍的全集。

例1.某班有70%的學生喜歡打羽毛球，75%的學生喜歡打乒乓球，問喜歡打乒乓球的學生中至少有百分之幾喜歡打羽毛球?()

A.30%B.45%

C.60%D.70%

C【解析】本題屬于兩集合容斥最值問題。

根據之前我們推出的結論，兩集合的交集最小值等于兩個子集和之和減去一倍的全集，那么假設全班一共100人，喜歡羽毛球的70人，喜歡乒乓球的75人，那么兩種球都喜歡的最少是70+75-100=45人。45÷75=60%。因此選擇C選項。

三、推廣應用

前面討論的是兩個集合的情況，那么當遇到三集合甚至四集合的情況時能不能求解呢。當然也可以，如果讓我們求解多集合交集的最大值，依然是找這幾個子集和中最小的那一個。如果是求三集合交集的最小值，我們可以用三個子集和加和減去兩倍的全集。用公式表示為：ABC(min)=A+B+C-2總數;

如果是四個集合求交集的最小值，則可以表示為：

ABCD(min)=A+B+C+D-3總數。

例2.某中學在高考前夕進行了四次語文模擬考試，第一次得90分以上的學生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請問在四次考試中都是90分以上的學生至少是多少?()

A.40%B.30%

C.20%D.10%

C【解析】本題屬于四集合容斥最值問題。

根據前面推出的結論，ABCD(min)=A+B+C+D-3總數。假設學生總數為100人，在四次考試中都是90分以上的學生至少為：70+75+85+90-300=20，20÷100=20%。因此，本題選項為C。

通過上面的詳細講解希望能對大家復習容斥最值問題有所幫助，2022年省考的腳步慢慢逼近了，衷心的祝愿各位在公考路上的小伙伴能夠腳踏實地復習備考，順利通過筆試進入面試，最終實現自己的夢想。

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