2021年國家公務員考試數學運算中的概率問題

概率問題的解題難點往往不在概率公式本身，而是對于題目描述事情的理解，甚至很多概率衍生到一些排列組合的知識點，多知識點結合是概率難題的一大特點。但因為概率問題、排列組合問題都是基于事件完成過程的分析，所以排列組合中的一些原理同樣可以應用于概率。那今天華圖教育就通過一道例題來為大家梳理分類分布如何解決概率問題。

例：銷售員小劉為客戶準備了A、B、C三個方案。已知客戶接受方案A的概率為40%。如果接受方案A，則接受方案B的概率為60%，反之為30%。客戶如果A或B方案都不接受，則接受C方案的概率為90%，反之為10%，問將3個方案按照客戶接受概率從高到低排列，以下正確的是：

A.A>B>C B.A>C>B C.B>A>C D.C>B>A

這道題目告訴我們什么呢?說是的客戶對于小劉提供的ABC三個方案的接受與否的概率信息，讓我們解決每種方案接受的概率大小問題。既然是解決概率，我們要看題干告訴的關于接受A、B、C的概率條件。這時我們可以發現，除A以外，BC方案的接受概率都會隨著另外的方案去變化，條件較多，我們整理一下：

①接受A為40%;

②接受A后，接受B為60%;

③不接受A后，接受B為30%;

④AB都不接受，接受C為90%;

⑤AB中接受了一種或兩種，接受C為10%。

此時我們發現，如果想求B或者C的概率，就要去找到哪些情況下B、C會發生，以B為例，B發生可以是②也可以是③，此時②和③的關系類似于排列組合中的分類，分類的方法數計算用加法，這里概率計算同樣用加法，即接受B的概率等于②③概率之和。

那我們繼續分析②，接受A之后，接受B為60%，接受A之后再接受B，在40%的基礎上再發生一個60%，類似于排列組合問題中的分步，分步的方法數計算用乘法，這里概率計算同樣用乘法，所以②對應的概率為40%×60%=24%。

同理，③中是不接受A再接受B，概率依舊相乘，為(1-40%)×30%=18%。

所以接受B的概率為24%+18%=42%。

分析清楚B之后，再來看C，想要接受C可以是④也可以是⑤，分類關系，故接受C的概率為④⑤概率的和。

在④中，AB都接受，再接受C，分步關系，概率應相乘;AB都不接受其實就是不接受A并且不接受B，概率為60%×(1-30%)=42%，所以④發生的概率為42%×90%=37.8%。

在⑤中，AB至少接受一個即為AB都接受的反面，概率為1-42%=58%，此時接受C的概率為10%，故⑤發生的概率為58%×10%=5.8%。

那么接受C的概率就為37.8%+5.8%=43.6%。

此時得出結論，C>B>A，選D選項。

這道題目中我們分析計算概率的方式，用到了分類、分步中的加乘原理。只要分析清楚題干描述事件發生的方式，結合加乘就可以順利計算出所求概率。值得注意的是，前提條件，概率能相加的前提是事件之間不交叉即分類關系，概率能相乘的前提是先后完成即分步關系。

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