2022國考行測備考之不定方程的四大解題秘籍

首先，各位考生需要了解什么是不定方程。在考試中我們會遇到類似3x+4y=21這樣的方程，這種方程的特點在于：未知數的個數>方程的個數，這樣的方程在未知數沒有任何限制的條件下，解是不固定的，所以我們稱之為不定方程。

不定方程屬于方程的一種，但是在解題難度上會略高于普通方程，如何把這種略難的問題快速掌握和解決呢?其實各位考生只需要掌握以下四種方法即可。

一、代入排除法

【例】設 a、b 均為正整數，若 11a+7b=84，則 a 的值為:

A.4

B.5

C.7

D.8

【解析】

第一步，通過未知數個數>方程個數，可以判定本題屬于不定方程問題。

第二步，通過代入排除，將選項中a的值代入等式11a+7b=84驗證，解出b應為正整數即可。通過代入，四個選項中只有當a=7時，b的值為整數1滿足條件。 因此，選擇C選項。

【技巧總結】當不定方程問題中只是簡單的求解某個量，而不是未知量的和差或乘積關系，可以考慮代入排除法求解。

二、整除法

【例】9x+4y=81，x和y為正整數，求y=( )?

A.3

B.6

C.18

D.45

【解析】

第一步，通過未知數個數>方程個數，可以判定本題屬于不定方程問題。

第二步，通過對這個方程進行觀察，不難發現9x的系數9和常數項81都能被9整除。根據乘法分配律，如果一個能被9整除的數加上另一個數的和能被9整除，那么另一個數也一定能被9整除，因此4y能被9整除，但4不能被9整除，所以只能是y被9整除，因此得出y是9的倍數，所以直接選擇C，這種方法我們稱之為“整除法”。

【技巧總結】不定方程中，未知數的系數和常數項有公約數時，考慮整除法求解。

三、奇偶性

【例2】2x+3y=25，x和y為正整數，求y=( )?

A.2

B.4

C.6

D.7

【解析】

第一步，通過未知數個數>方程個數，可以判定本題屬于不定方程問題。

第二步，觀察等式兩邊的每一項，2是偶數，偶數的正整數倍也一定是偶數，而25是一個奇數，一個偶數加上另一個數的和是奇數，說明另一個數一定是奇數，也就是說3y一定是奇數，而3是奇數，奇數只有乘以奇數才能得到奇數，所以y必須是奇數，選項中只有D滿足條件，因此選擇D選項。

【技巧總結】不定方程中，未知數的系數為一奇一偶時，考慮未知數的奇偶性。

四、尾數法

【例3】5x+6y=72，x和y為正整數，x與y的和不大于13，求xy=( )?

A.12

B.0

C.24

D.42

【解析】

第一步，通過未知數個數>方程個數，可以判定本題屬于不定方程問題。

第二步，觀察題干中的系數我們發現，5這個數比較特殊，因為正整數與5相乘的結果，尾數只有0或5兩種情況，因此我們可以通過尾數來進行快速求解。當然，因為未知數的系數為一奇一偶，所以在這個過程中我們也可以結合奇偶性法來解題。利用奇偶性我們能判斷6y是偶數，72是偶數，偶數+偶數=偶數，所以能夠確定5x是偶數，再根據尾數法確定5x的尾數只能是0，72的尾數是2，那么6y的尾數只能是2，所以y可以取的值只有2或7。當y=2時，x=12;當y=7時，x=6.由于x與y的和不大于13,所以滿足條件的只有y=7，x=6，6×7=42，因此選擇D。

【技巧總結】不定方程中，未知數的系數為5的倍數時，考慮尾數法。

以上就是常用的不定方程的四大解題方法，各位考生如果能深入理解并靈活運用，那么不定方程問題便能被輕松攻破。

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