2022國考行測數(shù)量關(guān)系之容斥問題

近些年來，在國省考的行測考試當中，數(shù)量關(guān)系中關(guān)于容斥問題的考察屢見不鮮。相比一些行程問題或者排列組合問題，常見的容斥問題其考察的難度并不算大，所以我們應(yīng)當盡可能地在這個模塊的考察中拿到相應(yīng)的分值，放棄非常的可惜!總結(jié)下來，容斥問題的常用解題方法主要分為圖解法和公式法，這兩個方法都可以讓大家在短時間內(nèi)解決掉典型的容斥問題，我們可以根據(jù)自己的習(xí)慣選擇相應(yīng)的解決方法。

圖解法的運用主要是通過韋恩圖來表達容斥問題當中集合之間的相對關(guān)系，優(yōu)勢就是比較直觀跟形象，利于分析，但是缺點就是可能需要花費一定的時間去作圖，并且對于作圖能力也有一定的要求。相比于圖解法，公式法的運用實際上還要更直接一些，其實圖解就是對公式的一個理解，換句話說，公式就是對圖形的一個具象表達。所以如果公式法用得好，我們大部分的容斥問題都能夠迎刃而解，我在這里主要給大家介紹一下公式法在容斥問題當中的運用。

容斥問題中的核心公式其實總結(jié)總結(jié)下來就3個，兩集合一個、三集合兩個。首先兩集合公式我們可以表達為：總數(shù)-都不=A+B-AB,在遇到容斥問題時，如果發(fā)現(xiàn)這是兩個相互獨立的事件的關(guān)系，那么我們就可以把這個公式拿出來，把題干所給的數(shù)據(jù)跟公式里面的量一一對應(yīng)地代入進去，不知道的量就假設(shè)成未知數(shù)，得到等量關(guān)系就可以解出該未知量了，基本上該未知量都是問題的重要依據(jù)。舉個例子:在自然數(shù)1-1000中，既不能被2整除又不能被3整除的自然數(shù)有幾個?對于這個問題，我們可以分別將能被2整除與能被3整除的數(shù)據(jù)當成相互獨立的兩個集合A與B，那么問題讓我們求的既不能被2整除又不能被3整除的量就相當于是都不的部分，我們可以直接用兩集合公式解決。首先求出A的數(shù)量，1-1000中有500個數(shù)能被2整除，A=500;其次1-1000中有333個數(shù)能被3整除，B=333;最后1-1000中既能被2整除又能被3整除的數(shù)也就是能被6整除的個數(shù)有166個。然后代入公式得到：1000-都不=500+333-166，所以都不=333，也就是有333個數(shù)既不能被2整除又不能被3整除。兩集合的容斥公式在這種情景下得到了很好的運用，解起題來非常方便。

接下來就是三集合的2個公式，一個是標準型公式：，一個是非標準型公式：總數(shù)-都不=A+B+C-滿足其中兩種的個數(shù)-2滿足三種的個數(shù)。我們在做三集合的容斥問題時，只需要判斷題型是屬于標準型公式還是非標準型公式，直接選取相應(yīng)的公式代入即可。其實標準型公式跟非標準型公式的特征非常的鮮明，只要題目當中提到既、又、同時等這樣的字眼時，就應(yīng)該先用標準型公式去解決，舉個例子： 班級里面有35個同學(xué)，18其中有個人會打羽毛球，22個人會打乒乓球，23個人會打排球，其中有13個同學(xué)既會打羽毛球又會打乒乓球，有14個人既會打羽毛球又會打排球，有17個人既會打乒乓球又會打排球，班上還有3個同學(xué)什么運動都不會，問有幾個同學(xué)三種運動都會?這道題提到了既、又這樣的字眼，所以是一道三集合標準型公式運用的題，假設(shè)有X個同學(xué)三種運動都會，直接代入公式得到：35-3=18+22+23-13-14-17+X，解得X=13，說明有13個同學(xué)三種運動都會。如果把這道題的敘述方式改為：班級里面有35個同學(xué)，18其中有個人會打羽毛球，22個人會打乒乓球，23個人會打排球，其中有13個同學(xué)這三種運動都會，還有3個同學(xué)這三種運動都不會，請問只會其中兩種運動的有幾個同學(xué)?這道題現(xiàn)在的特征變成了三種、兩種這樣的敘述，這就是三集合非標準型公式的特點，假設(shè)有X個人只會其中兩種運動，我們可以直接運用非標準型公式代入得到：35-3=18+22+23-X-213，解得X=5，說明有5個同學(xué)只會其中兩種運動。從舉的這兩個例子可以看出，公式法在容斥問題當中的運用是非常方便的，但是一定要弄懂公式之間的區(qū)別。

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