2022國考行測(cè)數(shù)量關(guān)系之容斥問題

近些年來，在國省考的行測(cè)考試當(dāng)中，數(shù)量關(guān)系中關(guān)于容斥問題的考察屢見不鮮。相比一些行程問題或者排列組合問題，常見的容斥問題其考察的難度并不算大，所以我們應(yīng)當(dāng)盡可能地在這個(gè)模塊的考察中拿到相應(yīng)的分值，放棄非常的可惜!總結(jié)下來，容斥問題的常用解題方法主要分為圖解法和公式法，這兩個(gè)方法都可以讓大家在短時(shí)間內(nèi)解決掉典型的容斥問題，我們可以根據(jù)自己的習(xí)慣選擇相應(yīng)的解決方法。

圖解法的運(yùn)用主要是通過韋恩圖來表達(dá)容斥問題當(dāng)中集合之間的相對(duì)關(guān)系，優(yōu)勢(shì)就是比較直觀跟形象，利于分析，但是缺點(diǎn)就是可能需要花費(fèi)一定的時(shí)間去作圖，并且對(duì)于作圖能力也有一定的要求。相比于圖解法，公式法的運(yùn)用實(shí)際上還要更直接一些，其實(shí)圖解就是對(duì)公式的一個(gè)理解，換句話說，公式就是對(duì)圖形的一個(gè)具象表達(dá)。所以如果公式法用得好，我們大部分的容斥問題都能夠迎刃而解，我在這里主要給大家介紹一下公式法在容斥問題當(dāng)中的運(yùn)用。

容斥問題中的核心公式其實(shí)總結(jié)總結(jié)下來就3個(gè)，兩集合一個(gè)、三集合兩個(gè)。首先兩集合公式我們可以表達(dá)為：總數(shù)-都不=A+B-AB,在遇到容斥問題時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)這是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件的關(guān)系，那么我們就可以把這個(gè)公式拿出來，把題干所給的數(shù)據(jù)跟公式里面的量一一對(duì)應(yīng)地代入進(jìn)去，不知道的量就假設(shè)成未知數(shù)，得到等量關(guān)系就可以解出該未知量了，基本上該未知量都是問題的重要依據(jù)。舉個(gè)例子:在自然數(shù)1-1000中，既不能被2整除又不能被3整除的自然數(shù)有幾個(gè)?對(duì)于這個(gè)問題，我們可以分別將能被2整除與能被3整除的數(shù)據(jù)當(dāng)成相互獨(dú)立的兩個(gè)集合A與B，那么問題讓我們求的既不能被2整除又不能被3整除的量就相當(dāng)于是都不的部分，我們可以直接用兩集合公式解決。首先求出A的數(shù)量，1-1000中有500個(gè)數(shù)能被2整除，A=500;其次1-1000中有333個(gè)數(shù)能被3整除，B=333;最后1-1000中既能被2整除又能被3整除的數(shù)也就是能被6整除的個(gè)數(shù)有166個(gè)。然后代入公式得到：1000-都不=500+333-166，所以都不=333，也就是有333個(gè)數(shù)既不能被2整除又不能被3整除。兩集合的容斥公式在這種情景下得到了很好的運(yùn)用，解起題來非常方便。

接下來就是三集合的2個(gè)公式，一個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)型公式：，一個(gè)是非標(biāo)準(zhǔn)型公式：總數(shù)-都不=A+B+C-滿足其中兩種的個(gè)數(shù)-2滿足三種的個(gè)數(shù)。我們?cè)谧鋈�集合的容斥問題時(shí)，只需要判斷題型是屬于標(biāo)準(zhǔn)型公式還是非標(biāo)準(zhǔn)型公式，直接選取相應(yīng)的公式代入即可。其實(shí)標(biāo)準(zhǔn)型公式跟非標(biāo)準(zhǔn)型公式的特征非常的鮮明，只要題目當(dāng)中提到既、又、同時(shí)等這樣的字眼時(shí)，就應(yīng)該先用標(biāo)準(zhǔn)型公式去解決，舉個(gè)例子： 班級(jí)里面有35個(gè)同學(xué)，18其中有個(gè)人會(huì)打羽毛球，22個(gè)人會(huì)打乒乓球，23個(gè)人會(huì)打排球，其中有13個(gè)同學(xué)既會(huì)打羽毛球又會(huì)打乒乓球，有14個(gè)人既會(huì)打羽毛球又會(huì)打排球，有17個(gè)人既會(huì)打乒乓球又會(huì)打排球，班上還有3個(gè)同學(xué)什么運(yùn)動(dòng)都不會(huì)，問有幾個(gè)同學(xué)三種運(yùn)動(dòng)都會(huì)?這道題提到了既、又這樣的字眼，所以是一道三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式運(yùn)用的題，假設(shè)有X個(gè)同學(xué)三種運(yùn)動(dòng)都會(huì)，直接代入公式得到：35-3=18+22+23-13-14-17+X，解得X=13，說明有13個(gè)同學(xué)三種運(yùn)動(dòng)都會(huì)。如果把這道題的敘述方式改為：班級(jí)里面有35個(gè)同學(xué)，18其中有個(gè)人會(huì)打羽毛球，22個(gè)人會(huì)打乒乓球，23個(gè)人會(huì)打排球，其中有13個(gè)同學(xué)這三種運(yùn)動(dòng)都會(huì)，還有3個(gè)同學(xué)這三種運(yùn)動(dòng)都不會(huì)，請(qǐng)問只會(huì)其中兩種運(yùn)動(dòng)的有幾個(gè)同學(xué)?這道題現(xiàn)在的特征變成了三種、兩種這樣的敘述，這就是三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式的特點(diǎn)，假設(shè)有X個(gè)人只會(huì)其中兩種運(yùn)動(dòng)，我們可以直接運(yùn)用非標(biāo)準(zhǔn)型公式代入得到：35-3=18+22+23-X-213，解得X=5，說明有5個(gè)同學(xué)只會(huì)其中兩種運(yùn)動(dòng)。從舉的這兩個(gè)例子可以看出，公式法在容斥問題當(dāng)中的運(yùn)用是非常方便的，但是一定要弄懂公式之間的區(qū)別。

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