“容斥問題+最值”的快速求解

在近年來的公職考試中，容斥問題的考查頻次越來越高，并且對于容斥問題的考查已經(jīng)不僅僅是對于公式的考查，現(xiàn)在還會與最值問題進行結(jié)合。那么關于容斥與最值結(jié)合的題目，我們也給大家總結(jié)了一些技巧和方法，大家可以直接套用這個方式去進行解題。

一、題型特征：題干主體為容斥問題，問題中出現(xiàn)“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼。

例如：某單位有72名職工，為豐富業(yè)余生活，擬舉辦書法、乒乓球和圍棋培訓班，要求每個職工至少參加一個班。已知三個班報名人數(shù)分別為36、20、28，則同時報名三個班的職工數(shù)至多是()人。

二、解題思路：將所求量設為未知數(shù)，根據(jù)題目要求結(jié)合容斥問題的公式進行列式，分析未知數(shù)的大小極值關系，得到結(jié)果。

三、例題詳解：

【2019遼寧】某班在籌備聯(lián)歡會時發(fā)現(xiàn)很多同學都會唱歌和樂器演奏，但有部分同學這2種才藝都不會。具體有4種情況：只會唱歌，只會樂器演奏，唱歌和樂器演奏都會，唱歌和樂器演奏都不會。現(xiàn)知會唱歌的有22人，會樂器演奏的有15人，兩種都會的人數(shù)是兩種都不會的5倍。這個班至多有()人。

A.27B.30

C.33D.36

【答案】C

【思路解析】設該班共有x人，唱歌和樂器演奏都不會的有y人，則兩種都會的有5y人，根據(jù)二集合容斥公式可得：x-y=22+15-5y，化簡得：x=37-4y。要使x最大，則y應最小，當y=1時，x=33，故這個班至多有33人。因此，選擇C選項。

【2019甘肅】某單位工會會員60人，現(xiàn)在組織會員報名參加興趣活動小組，其中報名徒步組的有40人，羽毛球組的有38人，乒乓球組的有31人，這三項活動都報名的有18人，問這個單位工會會員中最多有多少人三個小組都沒有報名?

A.14B.15

C.16D.18

【答案】A

【思路解析】設報名兩項的人數(shù)為x，三項都未報名參賽的人數(shù)為y，根據(jù)三集合非標準型公式可得：40+38+31-x-2×18=60-y，化簡得y=x-13。要讓三項都未報名的y最多，則讓x盡量多。考慮讓報名兩項的人數(shù)x盡量多，則除了報名三項之外的人，剩余盡量報名兩項，此時x最多為(40+38+31-3×18)÷2=27.5(人)，向下取整為27人，即x最多為27，故y最多為x-13=27-13=14(人)。因此，選擇A選項。

【2019青海】一次期末考試，某班同學成績統(tǒng)計如下表：

求：這個班最多有多少人?

A.45B.51

C.53D.55

【答案】B

【思路解析】設班級總數(shù)為x人，其中三門都90分以上的為y人，根據(jù)三集合容斥標準公式有x-5=23+21+20-8-6-10+y，化簡為x=45+y。其中y最多只能有6人，那么x此時最大為45+6=51(人)。因此，選擇B選項。

對于這種類型的題目，重點就是最后分析所求量的大小關系，那么大家在進行分析的時候，要注意好題目的限定條件，對應確定其中的范圍，最后計算求解。相信大家用好這個方法，對于容斥問題+最值問題的計算應該會非常快速。

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