2022年省考行測備考干貨之善用一元二次函數解決最大值問題

說起一元二次函數相信大家并不陌生，這讓我們回憶起了校園時光，黑板上的拋物線就好像時光一樣慢慢流逝。如今我們告別了校園，踏上了公務員的考試征途，再次遇見了熟悉又陌生的一元二次函數。在公務員考試中數量關系會涉及到此類考點，特別是在經濟利潤問題和幾何問題中。而這兩類題型是必考題型，大家要穩扎穩打拿高分，那么一元二次函數的應用就必須掌握牢固。

【學前啟蒙】 ：首先我們來回憶一下一元二次函數的基本知識，看看下面的函數圖像，你還能想起些什么呢?

從圖像上我們可以得出以下幾個信息：

① 這是一個開口向下的拋物線，可以取得最大值。

② x= x0 是函數的對稱軸 ， 在 x = x 0 處函數取得最大值。

③ x1、x2分別是函數的兩個根，且

利用以上基本信息，我們可以快速得到形如y=(x-m)(n-x)的最大值，方法如下：

① 分別令 x - m =0， n - x =0，則此函數的兩個根分別是 m 、 n。

② 當時，函數取得最大值。

【課堂學習】 ：接下來感受一下真題的考查形式，在學習中將知識內化于心。

1、經濟利潤問題統籌類：利潤最大化

【例】 某商品的進貨單價為80元，銷售單價為100元，每天可售出120件。已知銷售單價每降低1元，每天可多售出20件。若要實現該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價應降低的金額是 ：

A.5元 B.6元

C.7元 D.8元

【答案】 C

【解析】第一步，本題考查經濟利潤問題 中的統籌類 。

第二步，設 銷售單價 降低的金額為 x 元，即降了 x 個1元，則每件利潤變為100-80- x =20- x ， 銷量變為120+20 x 。 根據總利潤=單件利潤 × 銷量，則總利潤為 (20- x ) (120+20 x ) =20(20- x ) ( 6+ x ) 。 分別令20- x =0，6+ x =0，得到此函數的兩個根分別為20和-6，那么當時，此函數取得最大值 。 因此銷售單價應降低7元。

因此，本題選擇 C選項。

2、幾何問題計算類：面積最大化

【 例】 村民陶某承包一塊長方形種植地，他將地分割成如圖所示的4個小長方形，在A、B、C、D四塊長方形土地上分別種植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中長方形A、B、C的周長分別是20米、24米、28米，那么長方形D的最大面積是：

A.42平方米 B .49平方米

C.64平方米 D .81平方米

【答案】 C

【解析】 第一步，本題考查幾何問題 中的 平面幾何 計算 。

第二步，設A的長和寬分別為 x 米 、 y 米 ，由長方形A周長為20米，可得 x + y =10;由長方形B周長 為 24米，且長方形B與長方形A的長相同，可得B的長和寬分別為 x 米 、 y +2 米 ;由長方形C周長 為 28米，且長方形C與長方形A的寬相同，可得C的長和寬分別為 x +4 米 、 y 米 。那么長方形D的面積S=( x +4)( y +2)=( x +4)(10- x +2)=( x +4)(12- x ) ， 分別令 x +4 =0 ，12- x =0，得到此函數的兩個根分別是-4和12，那么當時，長方形D的面積最大， 此時S= ( 4+4)(12-4)= 64，故長方形D的最大面積為64平方米。

因此， 本題 選擇C選項。

【課后總結】 由以上真題可以看出，一元二次函數類的考查主要集中在最大值的計算，由題干很容易得到形如y=(x-m)(n-x)的表達式。即使形式上有一些差別，我們也可以通過提取公因式等其他方式得到y=(x-m)(n-x) 的形式，然后令 ，此時函數可以取得最大值，由此便可以簡化并快速解決問題。

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