最多（少）的最少（多）的有多少——數(shù)列構(gòu)造問題

針對這些有固定套路的題，我們只需要掌握好對應(yīng)的方法，遇到對應(yīng)的題目，直接套用就可以了，例如：容斥問題、工程問題，最不利構(gòu)造問題以及數(shù)列構(gòu)造問題。下面就介紹一下關(guān)于數(shù)列構(gòu)造問題的固定解題方法。

一、題型特點(diǎn)：題干是要求將人數(shù)或物品按照一定原則進(jìn)行分組或分配，問題中出現(xiàn)“最多(少)……至少(多)”、“排名第……最多(少)……”等描述。

二、解題方法：排序-定位-構(gòu)造-求和

排序：將所描述的主體按照順序排列，確定最大值與最小值的位置。

定位：明確所求的位置，設(shè)未知數(shù)。

構(gòu)造：按照題干已知條件對于各組人數(shù)或物品數(shù)進(jìn)行構(gòu)造。

求和：依據(jù)各組數(shù)量之和=總數(shù)，列式求解。

方法運(yùn)用：

【示例】五位學(xué)生參加某次考試后平均分為90分，每個(gè)人的分都為整數(shù)且均不相同，問得分最低的學(xué)生最多得多少分?

排序：將五位同學(xué)按照分?jǐn)?shù)從高到低排序。

定位：題目問的是的分最低的，設(shè)第五名得分為x。

構(gòu)造：要使第五名得分最多，總分?jǐn)?shù)為90×5=450是固定值，則其他人需要盡可能的少，第四名最少為x+1，第三名x+2，以此類推。

求和：總分?jǐn)?shù)為450，則x+4+x+3+x+2+x+1+x=450，解得x=88，即得分最低的學(xué)生最多得88分。

三、真題感知

【例】某街道服務(wù)中心的80名職工通過相互投票選出6名年度優(yōu)秀職工，每人都只投一票，最終A、B、C、D、E、F這6人當(dāng)選。已知A票數(shù)最多，共獲得20張選票;B、C兩人的票數(shù)相同，并列第2;D、E兩人票數(shù)也相同，并列第3;F獲得10張選票，排在第4。那么B、C獲得的選票最多為()張。

A.11B.12

C.13D.14

【答案】D

【解析】第一步，本題考查最值問題中的數(shù)列構(gòu)造問題。

第二步，根據(jù)前述的解題方法，排序-定位-構(gòu)造-求和，依題意先排序、定位列出表格如下：

要使B、C選票最多其他人需要盡可能的少，又D、E票數(shù)相同且要比F多，故，D、E最少取11。

第三步，總票數(shù)為80票，求和，20+x+x+11+11+10=80，解得x=14，即D、F最多得14票。

因此，選擇D選項(xiàng)。

通過前述的示例和真題，相信大家應(yīng)該掌握了解決數(shù)列構(gòu)造問題的方法。方法的難點(diǎn)在于構(gòu)造的過程，要仔細(xì)的分析清楚題干的要求，若求最多，其他的量就盡可能的少;求最少，其他量就需要盡可能的多。這類題需要充分結(jié)合題干的要求及條件，通過排序-定位-構(gòu)造-求和這種方法求出對應(yīng)的答案。

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