行測備考干貨之環形多次追及的趣味拓展

從近年來北京市公務員考試筆試真題中，我們可以發現行程問題的考察難度更為復雜、考察內容也更加廣泛。從2015年的直線追及，到2016和2017年兩年考察的比例行程類問題，緊接著2018年考察了直線多次相遇，2019年考察了直線追及問題，2020年在區級以上分卷的情況下考察了流水行船問題和加速度問題，2021年考察兩個普通行程問題，但是其中行程之間關系和數字運算也都相當復雜。所以，一直以來京考行程問題的難度上都非常復雜，在剛進行不久的2022年北京市公務員考試中，行程問題又出現多次，有普通的公式考察，有環形多次追及，有直線多次相遇等。今天就環形多次追及和大家一起探討，尤其2022年的題，存在一些巧解方法，需要大家更為深刻的理解環形多次追及。

關于環形多次追及，首先大家要了解一下模型和固定結論：

由上圖可知，我(紅色)和你(藍色)一起同點出發繞著環形跑圈，若你跑的快，你一開始就跑出去了，若你追上我，那么得多比我跑一圈。

所以我們有以下結論：

1，追上一次，則得多跑一圈

2，多跑一圈對應了追上一次

3，追上只有又到了同點，那么追上N次多跑N圈

4，多跑N圈追上N次。

所以根據以上結論，例1是非常常規的題目了。

【例1】環形跑道長400米，老張、小王、小劉從同一地點出發，圍繞跑道分別慢走、跑步和騎自行車。已知三人速度分別為1米/秒，3米/秒和6米/秒。問小王第3次超越老張時，小劉已超越小王多少次?()

A.3次B.4次

C.5次D.6次

解析：小王第三次超越老張之時，問小劉超越小王多少次。那么小王第三次超越老張就是比老張多跑三圈的。有3x-x=400×3，x=600秒，所以600秒時，小劉跑3600，小王跑1800，多了1800，則有1800/4=4.5圈，所以追上了4圈半，沒到5圈，則選擇B選項。

大家請注意這半圈，在我們后續的題中也有一定應用。

【例2】(2017年廣東)老林和小陳繞著周長為720米的小花園勻速散步，小陳比老林速度快。若兩人同時從某一起點同向出發，則每隔18分鐘相遇一次;若兩人同時從某一起點相反方向出發，則每隔6分鐘相遇一次。由此可知，小陳繞小花園散步一圈需要多少分鐘?()

A.6B.9

C.15D.18

解析：常規方法：分別設老林和小陳速度分別為x和y。若兩人同時從某一起點相反方向出發，則每隔6分鐘相遇一次，可得(x+y)×6=720;若兩人同時從某一起點同向出發，則每隔18分鐘相遇一次，可得(y-x)×18=720，解得小陳速度為80，所以需要9分鐘，則選擇B選項。

巧解：利用半圈的思維。兩人同時從某一起點相反方向出發，則每隔6分鐘相遇一次。可得小陳在整個相遇過程中跑了大半圈。則小陳6分鐘跑了大半圈，即未跑全整圈，A選項排除。小林6分鐘跑了大半圈，12分鐘肯定比整圈跑的多，則小陳跑一圈要12分鐘以內，則選擇B選項。

【例3】(2022年北京)甲和乙同時出發，在長360米的環形道路上沿同一方向各自勻速散步。甲出發2圈后第一次追上乙，又走了4圈半第二次追上乙。則甲出發后走了多少米第一次到達乙的出發點?

A.160B.200

C.240D.280

解析：

常規方法1：第一步，本題考查行程問題當中相遇追及問題。第二步，本次行程中兩人同時出發至追上，則兩人散步的時間相同。第二次追及中甲走4圈半，則乙走3圈半。兩人路程之比為9:7，則速度之比也為9:7。第一次追及中甲乙的速度之比、路程之比均為9:7，則甲走2圈720米，則乙走560米，兩人相差160。第三步，因此，選擇A選項。

常規方法2：第一步，本題考查行程問題當中相遇追及問題。第二步，設甲和乙的速度分別為v1、v2，甲乙出發時相距為s1。帶入追及問題公式，第一次甲追上乙(v1-v2)t=s1;第二次甲追上乙(v1-v2)t2=s2=360。兩次追及過程中均勻速，甲分別散步2圈和4圈半，t1:t2=4:9，則S1:S2=4:9，所以s1=160。第三步，因此，選擇A選項。

當然，如果大家能理解老師第一題給大家帶來的鋪墊，半圈的思維，這個題也是非常好解決的。

巧解：第二次追及過程是個全過程，4.5圈才完全追上，那么甲如果在圈的正對面，2.25圈正好追上。所以第一次追及是2圈追上的，表明相對位置在半圈以內，則一圈360，相距小于180。故本題選A選項。

根據上述三個題，大家應該對環形題目有個基本理解了。行程問題在小學數學、初中物理中都是重點考察內容，如果學生基礎較差，希望還是能建立行程思維，從基礎題基礎方法掌握起，那么更高階的思維模式和方法就能在基礎夯實之后進行強化提升，考試中就能取得先機。

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