2023年國家公務員考試行測數量關系：均值不等式巧解利潤最值問題

均值不等式的一種表達形式如下，

如果a、b均為非負實數，那么當且僅當a=b時，等號成立。

由上述表達式，我們可以得到如下結論：已知a、b均為正數，若a+b為定值，則當且僅當a=b時，ab取得最大值。

示例

已知x>0，y>0，且2x+5y=20，則xy的最大值是多少?

在這道題目中，2x相當于a，5y相當于b，則a+b=20，是定值，所以當且僅當a=b，即2x=5y時，2x×5y存在最大值，因為2x=5y且加和等于20，所以2x=5y=10，求出2x×5y=10xy=100，即xy最大值為10。

【應用】

例1

某商場銷售一批名牌襯衫平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售增加盈利盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，每件襯衫降低( )元時，商場每天盈利最多。

A.12 B.15 C.20 D.25

答案選B。接下來通過本題的解析我們梳理此類題目的解題思路：

(1)找等量關系，列方程。

本題所求為利潤最值問題，結合條件可以得出等量關系：總利潤=單件利潤×銷量。分析可得如果售價下降1元在成本不變的情況下利潤即下降1元，同時銷量會增加2件，這道題可以設每件襯衫的售價下降了x元，商場的總利潤為y元，那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。

(2)湊配定和，求極值。

y=(40-x)×(20+2x)，由前面學習的均值不等式的結論可知，要想求兩部分乘積的最大值，需要這兩部分的加和為定值，而我們會發現40-x和20+2x的加和并不是常數，所以不為定值，那么就需要未知數在加和后抵消掉，則可將方程變形為y=2×(40-x)×(10+x)，此時40-x與10+x的和為定值，所以當且僅當40-x=10+x，即x=15時，y存在最大值，答案為B。

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