數(shù)量備考干貨：“全能”型方法——十字交叉法

　　在考試過程中，數(shù)學(xué)運算模塊題目主要是通過代入排除法，數(shù)字特性法，方程法，賦值法求解。但是在考察一些加權(quán)平均數(shù)問題時，可能會遇到一些較復(fù)雜的題目，若采用常規(guī)方法——方程法，在列式、求解過程中難度均較大，求解過程繁瑣耗費寶貴的時間，此時如果能掌握十字交叉法，可大大降低題目難度，快速求解出結(jié)果，可視為一種特殊形式的“秒殺”。

　　一、“十字交叉法”介紹

　　“十字交叉法”最初用于解決溶液混合問題，求解混合前或者混合后的溶液質(zhì)量或濃度。例如，混合前一種溶液質(zhì)量、濃度分別為A、a，另一種溶液質(zhì)量、濃度分別為B、b;混合后溶液濃度為r，根據(jù)混合前后溶質(zhì)質(zhì)量不變可得：Aa+Bb=(A+B)×r，化簡可得：，即根據(jù)混合前后濃度的數(shù)據(jù)得出混合前溶液質(zhì)量之比;為了避免如此復(fù)雜的化簡過程，可用十字交叉形式代替，如下：

　　，

　　直接可得：。這種方法實際上是一種簡化方程的形式，凡是符合Aa+Bb=(A+B)×r的方程形式，都可以用“十字交叉”的形式來簡化。

　　二、例題精講

　　【例1】面包房購買一包售價為15元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成濃渡為20%的糖水12千克，然后將剩余的白糖全部加入后溶解，糖水濃度變?yōu)?5%，問購買白糖花了多少元錢?( )

　　A.45 B.48

　　C.36 D.42

　　【答案】B

　　【解析】相當(dāng)于12千克20%的白糖水與濃度為100%的白糖溶液混合形成濃度為25%的白糖水。十字交叉形式如下：

　　解得x=0.8。12千克20%的糖水中含糖12×20%=2.4，故白糖一共2.4+0.8=3.2kg。花費為3.2×15=48元。故本題答案為B。

　　三、“十字交叉法”的拓展應(yīng)用

　　“十字交叉法”除了用于求解數(shù)學(xué)運算中的溶液混合問題，還可以求解平均數(shù)問題、折扣問題、利潤率問題、混合比重問題;甚至可以用于求解資料分析中的混合增長率問題等;因此被稱為“全能”型方法。以上題目均有以下共同點：

　　①出現(xiàn)部分和整體這一類關(guān)系;

　　②研究部分和整體的相同指標(biāo)，如濃度、平均分、折扣、利潤率、增長率或比重;

　　③所求比例皆為以上指標(biāo)分母之比。具體應(yīng)用過程如下所示：

　　【例2】一只松鼠采松籽，晴天每天采24個，雨天每天采16個，它一連幾天共采168個松籽，平均每天采21個，這幾天當(dāng)中晴天有幾天?( )

　　A.3 B.4

　　C.5 D.6

　　【答案】C

　　【解析】十字交叉形式如下：

　　晴天是5的倍數(shù)。根據(jù)倍數(shù)特性可知晴天有5天。故本題答案為C。

　　【例3】某超市購進(jìn)西瓜1000個，運輸途中碰裂一些，未碰裂的西瓜賣完后，利潤率為40%，碰裂的西瓜只能降價出售，虧本60%，最后結(jié)算時總的利潤率為32%，碰裂了多少西瓜?( )

　　A.80 B.75

　　C.85 D.78

　　【答案】A

　　【解析】十字交叉形式如下：

　　說明碰裂的西瓜占全部西瓜的8%/(92%+8%)=8%，即1000×8%=80(個)。故本題答案為A。

　　【例4】某高校藝術(shù)學(xué)院分音樂系和美術(shù)系兩個系別，已知學(xué)院男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的30%，且音樂系男女生人數(shù)之比為1∶3，美術(shù)系男女生人數(shù)之比為2∶3，問音樂系和美術(shù)系的總?cè)藬?shù)之比為多少?

　　A.5∶2 B.5∶1

　　C.3∶1 D.2∶1

　　【答案】D

　　【解析】本題實質(zhì)是混合比重，十字交叉如下：

　　即音樂系總?cè)藬?shù)與美術(shù)系總?cè)藬?shù)之比為2∶1。因此，選擇D選項。

　　【例5】2017年，某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人均消費支出37425元，同比增長6.4%。其中城鎮(zhèn)居民人均消費支出40346元，同比增長5.5%;農(nóng)村居民人均消費支出18810元，同比增長8.5%。

　　2017年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民人數(shù)約是農(nóng)村居民的多少倍?( )

　　A.5.2 B.6.4

　　C.6.9 D.7.8

　　【答案】B

　　【解析】城鄉(xiāng)=城鎮(zhèn)+農(nóng)村，當(dāng)知道兩個部分的平均數(shù)與一個整體的平均數(shù)，求兩個部分的人數(shù)之比時可利用十字交叉法，數(shù)據(jù)位數(shù)較多，截位舍相同處理后，十字交叉形式如下：

　　故本題答案為B。

　　【例6】(山西2014-116)2012年，我國礦產(chǎn)品對外貿(mào)易活躍，進(jìn)出口額9919億美元，同比增長3.6%，其中，進(jìn)口額同比增長1.4%，出口額同比增長7.6%。

　　2011年，我國礦產(chǎn)品進(jìn)口總額約是出口總額的多少倍?( )

　　A.1.5 B.1.8

　　C.2.1 D.2.5

　　【答案】B

　　【解析】2012年進(jìn)口增長率1.4%，出口增長率7.6%，以及進(jìn)出口增長率3.6%，。十字交叉形式如下：

　　可以得出2011年的進(jìn)口額和出口額的比例為4%∶2.2%≈1.8。故本題答案為B。

　　【注】本題所求為基期量之比，等量關(guān)系式：Aa+Bb=(A+B)×r，代入數(shù)據(jù)為：2011年進(jìn)口額×1.4%+2011年出口額×7.6%=2011年進(jìn)出口總額×3.6%。

　　四、注意事項

　　“十字交叉法”在應(yīng)用時需注意以下幾點：

　　①用于快速解決兩部分之間比例問題;

　　②混合后數(shù)據(jù)居中，對角應(yīng)為大數(shù)據(jù)減小數(shù)據(jù)后的結(jié)果;

　　③不同類型題目應(yīng)準(zhǔn)確區(qū)分A和a;涉及增長率時，A、B均代表基期量。

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