國考問題-幾何最值問題淺談

幾何問題幾乎是每次行政職業能力測試的必考內容，通常來講常規的幾何問題一般難度都不大，只要大家掌握常見的幾何定理，幾何計算公式都較容易解決。但是關于幾何問題偶爾會考到一些與最值相關的題目，這些題目比較講求技巧性。今天我就給大家簡單介紹一下部分幾何最值問題求解的思路。

我們知道在平面圖形當中，如果一個圖形的周長一定，則這個圖形的形狀越接近于圓其面積越大。

其形式我們可以想象成一群小朋友在上體育課，按照老師的要求，所有小朋友手拉手圍成一圈，那么這一圈的周長就是所有小朋友臂展的加和。剛開始時，大家聚集在一起，胳膊沒有完全伸展開，中間圍起來的空地面積會相對較小。隨著老師口令，大家逐漸向后退，中間的空地會越來越大，但這一過程中大家手一直拉在一起，整個隊伍的周長一直是所有小朋友臂展的加和。直到大家的胳膊完全伸展開，此時隊伍會呈現一個很標準的圓形，中間的空地面積達到最大。如果再大，大家就沒法保持手拉手狀態了。

其形式我們可以想象成一群小朋友在上體育課，按照老師的要求，所有小朋友手拉手圍成一圈，那么這一圈的周長就是所有小朋友臂展的加和。剛開始時，大家聚集在一起，胳膊沒有完全伸展開，中間圍起來的空地面積會相對較小。隨著老師口令，大家逐漸向后退，中間的空地會越來越大，但這一過程中大家手一直拉在一起，整個隊伍的周長一直是所有小朋友臂展的加和。直到大家的胳膊完全伸展開，此時隊伍會呈現一個很標準的圓形，中間的空地面積達到最大。如果再大，大家就沒法保持手拉手狀態了。

根據這一條幾何最值理論，考試時便可以設計一道幾何最值的題目，比如：

【例1】某健身館準備將一塊周長為100米的長方形區域劃為瑜伽場地，將一塊周長為160米的長方形區域劃為游泳場館。若瑜伽場地和游泳場館均是滿足周長條件下的最大面積，問兩塊場地面積之差為多少平方米?

A. 625

B. 845

C. 975

D. 1150

在本題中，瑜伽場地為周長為100米的長方形區域，題目需要求得瑜伽場地的最大面積。根據上面的幾何最值理論，此問題符合周長一定的前提條件，所以當這塊區域為正方形時面積最大，即如下圖1所示，正方形的邊長應為25米，其面積為625平方米。

同理，游泳館場地為周長為160米的長方形區域，當這塊區域為正方形時面積最大，即如上圖2所示，正方形的邊長應為40米，其面積為1600平方米。

所以，兩塊場地面積之差為1600-625=975平方米，選擇C選項。

如果我們僅僅理解到此題的程度，只能算是形式上理解了這條最值理論。實際應用這條理論具體計算題目時，核心的計算方法依據的是如果兩個數的和一定，那么當兩個數相等時候這兩個數的積最大。表示成算式就是如果X+Y=M，(X，Y，M均為正數)，當X=Y=M2時，XY取得最大值。

比如上題中的瑜伽場地，如果我們設他的長為a、寬為b，有(a+b)×2=100米，a+b=50米，最大面積即為ab的最大值，只有當a=b=25米時，ab取得最值，ab=25×25=625平方米。

所以在解題時要注意結合以上兩種思路來檢驗自己的解題方法是否準確。

比如：

【例2】某農家要建造一個新的矩形雞圈，如圖所示，該雞圈一面靠圍墻，另外三面共使用了200米長的鐵絲網，問如果想讓雞圈的面積最大，雞圈的長和寬比值應為多少?

A. 1∶1

B. 2∶1

C. 3∶2

D. 7∶3

在求解本題時，如果大家不理解上面我們說的第二種思路，便會誤認為雞圈為正方形時面積最大，實際上本題的情況并不滿足周長一定。因為隨著雞圈長寬的變化，利用的圍墻長度也在變化。如按圖中所示，應該是a+2b=200米，除圍墻外三邊的總長度是固定的。

正確的方法應該按第二種思路處理，如果a與2b的和一定，當a=2b=時，a×2b最大，則a×b也最大。所以，a：b=2：1，B選項是正確答案。

希望通過這樣兩個例題詳細解釋，能夠給大家關于幾何最值問題的學習提供必要幫助。

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