公務員行測數量關系之多集合反向構造問題

在行測數量關系的學習過程中，許多小伙伴對于多集合反向構造這一類題型的掌握仍然有所欠缺，其實此類題型的解法相對固定，小伙伴只要經過一定的練習就能熟練掌握。所以今天我們一起學習下吧。

在學習多集合反向構造最開始，首先要對此類題型有初步的了解。此類題型歸屬于集合問題，即容斥問題;然而它又融合了極值的思想，需要同學們用最值思維去解題。通常而言，此類題型會出現關鍵詞“都……至少……”，即要求同時滿足多種條件的情況數，想辦法求該情況數的極值。文字比較抽象，我們畫出圖來幫助大家更好地理解。

多集合反向構造類的題目就像上圖(圖1)所示，通常會讓我們求的是同時滿足多個條件的區域的極值，比如此題就是問AB的最小值為多少。在圖形中，AB代表的區域是兩個集合相交的部分，從圖中可以看出，兩個集合“離得越開，AB區域越小”，轉化為數學語言即求的是兩個集合交集的最小值。如果題目沒有限制，兩個集合互相獨立的時候，該交集的最小值就為0了。但是一般情況下，題目中兩個集合都會有交集，所以這個時候我們就不太容易從正面對AB的極值進行量化，因此我們需要轉變思維，從反方向去探討AB的極值。

如上圖(圖2)所示，我們再看這個集合，分別代表著不滿足A的情況數以及不滿足B的情況數，正中間的交集為同時不滿足A和B的情況數，那么兩個集合組合起來的圖形代表著什么呢?它應該代表著“不滿足A或者不滿足B的情況數”。而空白的部分，是“不滿足A或不滿足B的情況數”的反面，即“同時滿足A和B的情況數”——AB的情況數。此時想求AB的最小值就簡單許多了：只要使“不滿足A或者B的情況數”盡量地大，這時候AB地值就相對變小。在-A和-B這兩個集合無交集的時候，AB有最小值，如下圖(圖3)所示。

此時我們想求AB的最小值，只需用總的情況數減去反向構造出的集合之和就行了，即。通過此題，可以歸納出多集合反向構造的解題步驟：反向——求和——做差。之后我們在遇到此類題型，我們只需要按照這三步，就可以解題。

好了，相信小伙伴們已經摩拳擦掌了，我們趕緊用例題來檢驗一下學習的內容吧。

【例】某機構對全運會收視情況進行調查，在1000名受訪者中，觀看過乒乓球比賽的占87%，觀看過跳水比賽的占75%，觀看過田徑比賽的占69%。這1000名受訪者中，乒乓球、跳水和田徑比賽都觀看過的至少有：：

A. 310人

B. 440人

C. 620人

D. 690人

【答案】A

【解析】第一步，本題考查最值問題，屬于多集合反向構造。

第二步，根據多集合反向構造的思路，“反向——求和——做差”。

反向：未觀看乒乓球比賽的人數為1000×(1-87%)=130人，未觀看跳水比賽的人數為1000×(1-75%)=250人，未觀看田徑比賽的人數為1000×(1-69%)=310人。

求和：三種比賽有人沒看過的最多有130+250+310=690人。

做差：三種比賽都觀看過的至少為1000-690=310人。

因此，選擇A選項。

今天的學習就先到這里，小伙伴下來還需要多做幾個例題鞏固一下哦。

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