行測備考干貨之幾何問題中相似比的運用

對于幾何問題，我們歷年的國考和省考中都會考到，其中有部分題目會涉及到相似比的運用。

從數(shù)學上來說，相似指兩個圖形的形狀完全相同，其中一個圖形能通過放大縮小、平移或旋轉(zhuǎn)等方式變成另一個。此處所說的相似，不僅僅只是三角形的相似，任何角度形狀相同的圖形，相互之間都是屬于相似圖形。相似比是指兩個相似圖形的對應邊的比值。比如邊長為1厘米的正方形與邊長為2厘米的正方形相似，相似比即為1:2。

知識點

以邊長為1厘米和邊長為2厘米的兩個相似正方形為例，有：

二、例題

【例1】(2017江蘇)某市規(guī)劃建設的4個小區(qū)，分別位于直角梯形ABCD的4個頂點處(如圖)，AD=4千米，CD=BC=12千米。欲在CD上選一點S建幼兒園，使其與4個小區(qū)的直線距離之和為最小，則S與C的距離是：

A.3千米

B.4千米

C.6千米

D.9千米

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于幾何特殊性質(zhì)類。

第二步，幼兒園S與4個小區(qū)的直線距離之和為AS+BS+CS+DS=AS+BS+CD，由于CD長度為定值，則要使距離之和為最小，只需AS+BS最小。如圖，以CD為對稱軸，作A的對稱點，連接B，與CD的交點即為S點，此時AS+BS為最小(兩點之間線段最短)。

第三步，根據(jù)相似三角形判定定理，，因此，由于SC+SD=CD=12千米，故(千米)。

因此，選擇D選項。

【例2】(2017年國考)一塊種植花卉的矩形土地如圖所示，AD邊長是AB的2倍，E是CD的中點，甲、乙、丙、丁、戊區(qū)域分別種植白花、紅花、黃花、紫花、白花。則種植白花的面積占矩形土地面積的：

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類。

第二步，賦值丙面積為1，根據(jù)“中點”得到AB=2DE，所以甲的面積為4(相似圖形，面積比等于相似比的平方)。丙和丁的底邊都在DB上，頂點都為E，由于高相同，三角形面積比等于底邊長之比，故得到丁的面積為2，同理乙的面積也為2。
       第三步，由于戊的面積與丙、丁面積之和相等(三角形底邊長度相等，高相等)，得到戊的面積為3，故總面積為4+2+1+2+3=12。根據(jù)種白花的面積為4+3=7，得到白花面積的占比為。

因此，選擇C選項。

【例3】(2018年聯(lián)考))某甜品店出售一種規(guī)則球形的甜品，該甜品由內(nèi)部中空的球形面皮(每立方厘米成本0.4元)，和實心的芝士球(每立方厘米成本1元)組成，無論甜品大小規(guī)格如何，其中的芝士球半徑始終為甜品半徑的四分之三，已知制作半徑為1厘米的該甜品成本約為2.73元那么要制作半徑為2厘米的該甜品，成本約為

A.5.46元

B.7.45元

C.14.92元

D.21.88元

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于幾何特殊性質(zhì)類。

第二步，球體體積之比等于相似比的立方，半徑2厘米甜品的體積為半徑1厘米甜品體積的2³=8倍，因此制作半徑為2厘米甜品的成本為半徑1厘米甜品的8倍。

第三步，成本約為2.73×8=21.84(元)。

因此，選擇D選項。

【例4】(2019年四川)如圖，沙漏計時器由上下兩個大小相同、相互連通且底面互相平行的圓錐組成，下面的圓錐內(nèi)裝有細沙。計時開始時，將沙漏倒置，已知上面圓錐中細沙全部流下恰好需要1小時，則細沙高度下降一半所需的時間是：

A.30分鐘

B.45分鐘

C.47.5分鐘

D.52.5分鐘

【解析】第一步，本題考查幾何問題。
      第二步，下半部分錐體高度與整個錐體高度之比為1:2，則體積比為1:8(體積比為相似比的立方)，高度下降一半，則整個錐體體積(上半部分)的沙子流出，所需時間為60×=52.5分鐘。

因此，選擇D選項。

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