2022國考行測數量關系備考干貨之分類分步的廣義與狹義

很多讀者學習數量關系時，第一次接觸“分類”與“分步”這兩個概念，是在排列組合與概率這一章節。因此，很多人潛意識里會認為分類與分步是排列組合與概率的一個下屬小考點。這種認識顯然是不全面的，是狹義的。這就好比，我喝了一杯加糖的豆漿，我不能把糖認為是豆漿的附屬，眾所周知，糖的用途是非常廣泛的。鑒于此，本文的主要目的是說清楚分類與分步的狹義與廣義，尤其是廣義。

我們先從排列組合說起。比如快餐店午餐準備了6葷3素，小明要吃2葷1素，那么，第一步小明要在6個葷菜里選擇2個葷菜，第二步，要在3個素菜里選擇1個素菜，這就是個分步解決問題的思路，也就是俗稱的乘法原理。小紅的午餐也是從這6葷3素里選擇3道菜，但搭配相對寬松，只需葷素搭配就可以了，那么，擺在小紅面前的首要問題是吃2葷1素，還是吃1葷2素，這個問題就是分類，也就是俗稱的加法原理。但是，事實上，分步不完全等價于計算乘法，分類也不完全等價于計算加法，這種等價僅僅是被排列組合這個背景綁架了的分類與分步的狹義概念罷了。

接下來，我們把分類與分步的概念適度推廣，在數量關系的背景下，分類主要是指在解題過程中，我們思考解決一道題目，需要分為幾種情況，分類這里也就相當于分情況的意思。例如，我們看下面這道考題：

某籃球隊共有九人，分三組舉行三人制籃球賽，他們的球衣號碼分別是從1號到9號，分組后發現三組的球衣號碼之和不同，且最大和是最小和的兩倍。則各組號碼之和不可能是下列哪個數?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

第一種情況，也就是“最大和”的極端情況。根據題意“最大和”應有7號、8號、9號組成，“最大和”為24，推出“最小和”為12(例如由3號、4號、5號組成)，第三組為1號、2號、6號，之和為9，與上述“最小和”形成矛盾。因此，此情況無效。

第二種情況，鑒于最大和是最小和的兩倍，因此最大和必須為偶數。假設“最大和”為22(例如由5號、8號、9號組成)，推出“最小和”為11(例如由1號、4號、6號組成)，第三組為2號、3號、7號，之和為12，無矛盾，符合題目要求，因此選項B、C不可選。

第三種情況，假設“最大和”為20(例如由3號、8號、9號組成)，那么，“最小和”為10(例如由1號、2號、7號組成)，第三組為4號、5號、6號，之和為15，無矛盾，符合題目要求，因此選項A不可選。綜上，選擇D選項。

回顧上述解題思路，實際上就是分情況討論的過程，也就是分類的過程，但它并不完全等同于加法原理。

我們再來體驗分步，在數量關系的背景下，分步主要是指在解題過程中，我們思考解決一個問題，需要分幾個步驟，這里的“步”主要指“步驟”。例如，我們看下面這道考題：

一種設備打九折出售，銷售12件與原價出售銷售10件時獲利相同。已知這種設備的進價為50元/件，其他成本為10元/件。問如打八折出售，1萬元最多可以買多少件?

A. 80

B. 83

C. 86

D. 90

我們來分析一下這道題目：要想知道1萬元最多可以買多少件，就得知道打八折后的單件售價是多少元，要想知道打八折后的單件售價是多少元，就得知道最初的單件售價是多少元。因此，本題的解題步驟大體可分為以下三步：

第一步，求出最初單價售價。設最初單件售價為元，根據“一種設備打九折出售，銷售12件與原價出售銷售10件時獲利相同”，可列方程，解得。

第二步，求出打八折后的單件售價元。

第三步，1萬元可以買到的件數為件，即選擇B。

回顧上述解題思路，實際上分步驟解決問題的過程，也就是分步的過程，但它也并不完全等同于乘法原理。

我們把分類與分步的概念再度推廣，大家看下面兩幅圖，哪個是分類，哪個是分步呢?

最后，我們以思維導圖的形式，把本文脈絡進行梳理。

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