隔板法的基礎與進階應用

同學們在學習排列組合問題時，應該接觸到了其中的一類題目：將相同的m個元素，分成n份，每份至少一個，共有多少種分法。我們把解決此類問題的方法叫做隔板法。

在操作過程我們在m個元素間，即m-1個空中插入n-1個板子，將其分成了n份，于是我們得出公式。

這個公式稱為隔板法的基礎模型公式。從題型上來看，必須滿足：

1.n個元素必須相同，2.每個組至少分到一個元素。

應用如下：

【例1】把7支相同的筆分給參加會議的4名教師，每人至少1支，至多3支，共有多少種分法?

A.32

B.20

C.16

D.10

【解析】第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類，用隔板法解題。

第二步，7支筆，每人至少1支，有(種)分法，根據每人至多3支，可知按4、1、1、1分配，有4種分法不符合題意，故共有20-4=16(種)分法。

因此，選擇C選項。

以上是以“每人分到元素至少一個”的基礎模型，在此基礎上，當“每人分到元素至少大于1個時”又該怎么辦呢。

【例2】把20支相同的筆分給參加會議的4名教師，每人至少3支，共有多少種分法?

A.165

B.170

C.180

D.190

【解析】第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類，用隔板法解題。

第二步，先給每個老師每人分2只筆，此時題目轉換為還剩下12支筆，分給4個老師每人至少一支筆。符合隔板法基礎模型。共有種分法。因此選擇A選項。

所以當每人分到的元素個數k大于1時先給每人分k-1個，將題目轉換為基礎模型再套用基礎公式即可。

那么當“每人分得元素可以為0個”時呢。

【例3】把7支相同的筆分給參加會議的4名教師，允許有人分不到，共有多少種分法?

A.90

B.100

C.110

D.120

【解析】第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類，用隔板法解題。

第二步，先借來4支筆，每個老師每人分一支，此時題目轉換為11支相同的筆，分給4個老師，每人至少分一個的基礎模型題目，符合隔板法基礎模型。共有種分法。

因此選擇D選項。

綜上所述，我們所需要重點掌握的是隔板法的基礎模型，即將相同的m個元素，分成n份，每份至少一個。以及它的核心公式。

無論當每人分得的元素大于1時，還是可以等于0時，核心思路都是將題目轉換為基礎模型并套用公式加以計算。希望大家以后在遇到此類問題時，能夠第一時間做到題目辨析，抓住分數。

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