數量關系知識點之容斥問題公式梳理

對于數量關系的備考，考生們不應該糾結于一些難題，在備考復習數量關系的過程中，仍然存在著很多一學就會的模塊，考生們可以重點復習這一類的題目，掌握解題技巧，在考場上拿到數量關系的分數。

今天要給考生們梳理的是在國聯考中常見的一種題型——容斥問題，容斥問題是一種計數的數學問題，在計數時，一部分的數據會被重復計數，計數時必須注意沒有重復，沒有遺漏，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法被稱為充斥原理，容斥原理的基本思想是：先不考慮重復的數據，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復。容斥問題有兩種解題方法：1、畫圖法;2、公式法。畫圖法可以解決所有的容斥問題，公式法可以解決一部分基礎的容斥問題，考生們在備考的過程中，不要一味的追求難題，可以把公式熟記，掌握基礎的容斥問題，下面就帶大家來梳理一下常用的容斥問題的公式。

一、二集合容斥問題

通過圖形可得二集合公式：

總數=滿足條件A+滿足條件B-條件A、B都滿足+條件A、B都不滿足

【例題1】市電視臺向150位觀眾調查前一天晚上甲、乙兩個頻道的收視情況，其中108人看過甲頻道，36人看過乙頻道，23人即看過甲頻道又看過乙頻道，則接受調查觀眾中在前一天晚上兩個頻道均未看過的人數是：

A. 17 B. 22

C. 29 D. 38

【解析】本題考查容斥問題中的二集合容斥問題，題干中明確已知滿足條件A，滿足條件B，條件A、B都滿足的數據，直接采用公式法，將已知條件帶入到公式中即可解題。

設受調查觀眾在前一天晚上兩個頻道均未看過的人數為x，根據二集合容斥公式可列方程：150=108+36-23+x，解得x=29，因此，本題選擇C選項。

二、三集合容斥問題

通過圖形可得三集合公式(標準型)：

總數=滿足條件A+滿足條件B+滿足條件C-滿足條件AB-滿足條件AC-滿足條件BC+條件ABC都滿足+條件ABC都不滿足

【例題2】有關部門對120種抽樣食品進行化驗分析，結果顯示，抗氧化劑達標的有68種，防腐劑達標的有77種，漂白劑達標的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達標的有54種，防腐劑和漂白劑都達標的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達標的有35種，三種食品添加劑都達標的有30種，那么三種食品添加劑都不達標的有多少種?

A. 14 B. 15

C. 16 D. 17

E. 18 F. 19

G. 20 H. 21

【解析】本題考查容斥問題中的三集合容斥問題，可直接采用三集合容斥公式解題。

設三種食品添加劑都不達標的有x種，帶入三集合容斥公式，列出方程：120=68+77+59-54-43-35+30+x，解得x=18，因此，本題選擇E選項。

在三集合中除了上述的標準公式外，還有兩個其他公式：

1總數=滿足條件A+滿足條件B+滿足條件C-滿足兩個條件-2×三個條件都滿足+三個條件都不滿足

2總數=滿足一個條件+滿足兩個條件+三個條件都滿足+三個條件都不滿足

對于容斥問題，考生們在備考時重點要掌握公式的使用，在考場上優先考慮可以直接使用公式的容斥問題，最后，再用一張思維導圖來總結一下容斥問題的公式。

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