淺談用均值不等式解決行測中的最值問題

數量關系中我們會經常遇到求最大或者最小值的問題，這類問題部分同學會感覺無從下手，另一部分同學會想到結合二次函數圖像求最值感到非常麻煩，那么今天給大家介紹均值不等式在行測中如何秒殺最值問題。這里我們首先回顧一下均值不等式原理，即算數平均數大于集合平均數，用公式表示的話就是 。很多同學應該還記得高中時代我們熟悉的應用方法。即當a+b是定值的時候，ab的乘積有最大值，當且僅當a=b時取最大值;當ab是定值的時候，a+b有最小值，當且僅當a=b的時取最小值。只介紹理論知識可能還體會不到它的便捷度，接下來我們結合例題來進行說明。

例1.(2020江蘇)某商品的進貨單價為80元，銷售單價為100元，每天可售出120件，已知銷售單價每降低1元，每天可多售出20件。若要實現該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價應降低的金額是：

A.5元

B.6元

C.7元

D.8元

【答案】C

【解析】設銷售單價應降低X元能實現該商品的銷售利潤Y元。售價降低n元，即降了n個1元，則每件利潤變為100-80-n=20-n。每降低1元，售出的數量增加20，此時可售出數量為120+20n。則銷售利潤Y=(20-n) (120+20n)，也就是求Y的最大值，為了求乘積的最大值，需要把和構造為定值，因此Y=20(20-n)(6+n)，當且僅當20-n=6+n的時候，即n=7時，Y取最大值。因此，選擇C選項。

例2.建造一個容積為48立方米，深為3米的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每立方米150元和每立方米120元，那么該水池的最低造價是多少元?

A.6460

B.7200

C.8160

D.9600

【答案】C

【解析】由于容積為48，深度為3，則水池的底面積=48÷3=16，池底的造價為150×16=2400。要使水池的造價盡量低，則使其側面積盡量小，設池底長和寬分別為X、Y，側面積=2×(3X+3Y)=6×(X+Y)，底面積XY=16。因為XY的乘積是定值，則X+Y的和有最喜小值，當且僅當X=Y=4時X+Y最小，最小值為4+4=8。側面積=6×8=48,池壁造價為120×48=5760,因此該水池最低造價為2400+5760=8160，選C。

我相信通過以上兩道題大家對均值不等式的理論知識和應用已經有了一定的了解，那么為了便于大家記憶，可以將其總結為，“和定時積最大，積定時和最小，當且僅當a=b時取最值。”接下來也可以給大家分享一下思維導圖，大家后期進行多練習，考試中遇到此類題目一定會拿分。

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