2022年國考行測備考之數量關系中的多集合反向構造

多集合反向構造是行測數量的一種常見題型，常見的題目提問方式是問“所有條件都滿足的個數至少是多少?”條件之間是可以交叉重合的，初看與容斥問題很像，按照容斥問題的思路解題會很復雜，但只要應用逆向思維，解題難度即可大幅下降。

我們來看以下例題：

【例1】閱覽室有100本雜志，小趙借閱過其中75本，小王借閱過70本，小劉借閱過60本，則三人共同借閱過的雜志最少有( )本。

A.5 B.10

C.15 D.30

【答案】A

【解析】例1中描述了“小趙借閱過”“小王借閱過”“小劉借閱過”三個條件，雜志是可以被這三人都借閱過的，存在交叉重合的可能性，看起來跟容斥問題很像。實際上這種題目也可以用容斥的思路來解決，我們先按照這個思路解題，后面再用逆向思維進行對比。

圖1 容斥關系示意圖

如圖1所示，題目所求的“三人共同借閱過的雜志”是圖中的x所代表的區域，若按照三集合容斥問題的公式去考慮，還有a、b、c三個區域缺乏相應的數據。我們先按照容斥的公式可得，整理得①。同時，a、x、b這三個區域只是小趙借閱過的書籍的一部分，因此有：②，同理可得

③，④，將②③④相加可得⑤。①×2-⑤可得x≥5。因此，答案選擇A選項。

上述的解法雖然直觀，但是解不定方程組的繁瑣過程相信“勸退”了不少的考生。如果我們換個角度，采用逆向思維，則解法可以得到極大的簡化。

雜志總數100本不變，當求“三人共同借閱過的雜志”的最小值，相當于求“沒有三人共同借閱過的雜志”的最大值。小趙借閱過其中75本，即小趙沒借閱過其中的25本;小王借閱過70本，即小王沒借閱過其中的30本;小劉借閱過60本，即小趙沒借閱過其中的40本。只要任何一個人沒有借閱過，都屬于“沒有三人共同借閱過的雜志”。

那么什么時候是最大呢?當小趙沒借閱過的雜志、小王沒借閱過的雜志和小劉沒借閱過的雜志不存在重疊時，即為最大值，此時為25+30+40=95(本)。因此“三人共同借閱過的雜志”的最小值是100-95=5(本)。

同樣的結果，是否比原來的解法要簡便很多呢?我們可以把這個思路歸納為三步：反向，求和，做差。在我們逆向思維求解的過程中，跟可能存在交叉重疊的條件個數是沒有關系的，因此，只要題目是問“……都……至少……”，都可以采取這種思路快速求解。

圖2 多集合反向構造思維導圖

下面我們馬上學以致用，用這個思路來求解下面的題目吧。

【例2】某中學在高考前夕進行了四次語文模擬考試，第一次得90分以上的學生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請問在四次考試中都是90分以上的學生至少是多少?( )

A.40% B.30%

C.20% D.10%

【答案】C

【解析】第一步是反向，依題意得第一次沒有得90分以上的學生為30%，第二次沒有得90分以上的學生為25%，第三次沒有得90分以上的學生為15%，第四次沒有得90分以上的學生為10%。第二步是求和，沒有四次考試中都是90分以上的學生最多占30%+25%+15%+10%=80%。第三步做差，四次考試中都是90分以上的學生至少占100%-80%=20%。因此，答案選C。你做對了嗎?

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